Kelvin hydrodynamique

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 2686 (2023) Citer cet article

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L'instabilité de Kelvin – Helmholtz sur la surface métallique est pertinente pour l'impact oblique intense dans de nombreux processus physiques tels que le soudage explosif, la fusion par confinement inertiel et les événements d'impact planétaire. L'évolution de l'instabilité se traduit par la formation d'une morphologie ondulée conduisant au collage voire au mélange des matériaux. Cependant, principalement en raison du manque de méthode pour décrire le comportement dynamique, le mécanisme d'instabilité contrôlé par les propriétés élastoplastiques du métal reste insaisissable. Ici, nous introduisons une théorie pour révéler les caractéristiques d'évolution suscitées par la vitesse tangentielle. Nos simulations montrent que les surfaces métalliques instables présentent une croissance d'amplitude et un mouvement tangentiel en surmontant la dépression de la limite d'élasticité pour générer une morphologie ondulée. Pour diverses vitesses de chargement, surfaces ondulées et propriétés de matériaux, une frontière d'instabilité distingue toutes les évolutions instables. Notre méthode analytique avec des variables indépendantes de l'échelle reproduisant les résultats numériques révèle de nombreuses caractéristiques d'instabilité dans les matériaux résistants. Pour les vitesses de chargement conçues et le matériau dans l'expérience d'impact oblique en laboratoire, la propriété des surfaces ondulées devient un facteur important pour déterminer l'évolution de l'instabilité.

L'instabilité de Kelvin-Helmholtz (KHI)1,2 due au cisaillement à la surface métallique reste à peine comprise, ce qui mérite particulièrement d'être interprété comme un métal subissant un impact oblique intense dans le soudage par impact à grande vitesse (HVIW)3,4,5, la fusion par confinement inertiel (ICF )6,7, événements d'impact planétaire8,9,10, etc. Les structures ondulées suscitées par un saut de vitesse tangentielle lors d'une collision de surface avec des angles indiquent une liaison matérielle ou même un mélange potentiel5,8. Bien que le KHI entre les fluides soit largement étudié11,12, les caractéristiques de l'évolution du KHI associées aux effets de dépression des propriétés élastiques-plastiques (EP) du métal13 méritent d'être approfondies.

La détection de KHI sur une surface métallique est un défi sérieux en raison des difficultés pratiques de maintien du flux de cisaillement à grande vitesse dans les installations expérimentales14. Les caractéristiques des morphologies ondulées sont généralement discutées à l'aide d'une expérience d'impact oblique à grande vitesse dont les résultats ne peuvent être imagés qu'à la fin d'expériences qui ne révèlent pas les processus d'évolution3,4,15,16, sans mentionner un autre problème de récupération d'échantillon sans fragmentations sévères sous chargement à grande vitesse17. Bien que les processus d'impact oblique puissent être exposés par des simulations informatiques, en plus d'acquérir des distributions de maillage suffisamment fines, la précision des calculs est largement déterminée par différentes arithmétiques de capture de l'interface matérielle15,18,19,20. Pour KHI sur les métaux, il est surprenant que des simulations pertinentes n'aient pas été présentées pour l'instant, mais seulement une analyse théorique avec la méthode traditionnelle du mode normal qui présente simplement le taux de croissance et implique l'impossibilité de traitements analytiques en raison des équations gouvernantes non linéaires et des relations constitutives non linéaires du métal5,18 . De ce fait, nous manquons surtout de descriptions des caractéristiques d'évolution de la surface métallique perturbée sous l'opération de discontinuité de vitesse tangentielle.

Dans le but d'étudier le comportement de surface de KHI sur un solide, nous avons proposé une analyse théorique avec une méthode d'écoulement potentiel pour décrire le taux de croissance et l'évolution de l'amplitude par des formules analytiques21. Les propriétés de résistance à la déformation par cisaillement du matériau solide influencent l'évolution de l'instabilité de la surface lors de l'écoulement tangentiel. La croissance en amplitude est empêchée par les propriétés EP du solide de devenir un comportement d'oscillation autour. Bien que l'effet de dépression des propriétés EP ait été détecté dans l'évolution de l'amplitude, il est intéressant de noter que le taux de croissance est le même que KHI pour différents fluides idéaux, c'est-à-dire \(k\sqrt{{\rho }_{1}{\rho }_{2}{u}_{0}^{2}}/({\rho }_{1}{+\rho }_{2})\), qui est toujours positif pour indiquer une croissance continue de l'amplitude . La méthode traditionnelle pour estimer si la surface est stable ou instable par le taux de croissance18,22 semble invalide pour le solide. En outre, la relation entre la transition EP et l'évolution de l'instabilité ne peut pas également être mise en évidence par le taux de croissance et l'amplitude. Dans le présent travail, nous essayons d'éclairer une méthode pour estimer si l'instabilité développe une frontière d'instabilité nommée et pour expliquer l'effet de la transition EP sur l'instabilité par division EP.

Ici, nous considérons l'instabilité pour la configuration d'un fluide idéal à vitesse tangentielle constante u0 glissant sur un solide EP parfaitement au repos (Fig. 1). Pour plus de simplicité, notre discussion est limitée au plan bidimensionnel avec l'axe y perpendiculaire à la direction d'écoulement x. La petite perturbation peut être représentée par η(x,t) = ξ(t)eikx où ξ(t) est l'amplitude avec une valeur initiale de ξ(0) = ξ0 et k = 2π/λ est le nombre d'onde pour la longueur d'onde λ. Le métal et le fluide peuvent généralement avoir des densités différentes de ρ1 et ρ2. Dans ce système, u0 est l'incitation à l'instabilité, mais la surface peut être stable sous la suppression du module de cisaillement constant G1 et de la limite d'élasticité constante Y avant et après la déformation plastique. Ensuite, plusieurs variables sans dimension qui caractérisent un système KHI sont définies : AT = (ρ1 - ρ2) / (ρ1 + ρ2) est le nombre d'Atwood ; M02 = ρ1u02/G1 est le nombre de Mach ; z = ξ(t)/ξ0 est le facteur de croissance ; τ = tku0, \(\widehat{\lambda }\hspace{0.17em}\)= 2πξ0/λ et \(\widehat{Y}\hspace{0.17em}\)= ρ1u02/Y sont respectivement le temps sans dimension, la longueur d'onde et la limite d'élasticité.

La configuration du fluide idéal s'écoulant sur une surface perturbée de métal parfaitement EP. Le solide de densité ρ1 est au repos dans le repère cartésien 2D et le fluide de densité ρ2 a une vitesse tangentielle constante u0 dans la direction x. La perturbation initiale a une forme cosinusoïdale ξ0coskx avec une longueur d'onde périodique λ et une amplitude ξ0. Les deux épaisseurs h1 et h2 des matériaux sont suffisamment grandes pour s'assurer de s'approcher du milieu infini, c'est-à-dire kh1 >> 1 et kh2 >> 1.

Nous exécutons d'abord des calculs numériques approfondis pour révéler les évolutions temporelles des perturbations métalliques. Les simulations effectuent la génération de diverses morphologies ondulées affichant une croissance continue de l'amplitude et du mouvement tangentiel de la crête des vagues, ce qui implique une instabilité du système. Sur la base des caractéristiques de l'évolution de l'instabilité, une frontière d'instabilité séparant tous les cas stables et instables est obtenue, et une division EP séparant tous les cas sans et avec comportements plastiques est également obtenue. En outre, une méthode théorique est réalisée pour divulguer des expressions analytiques de la limite d'instabilité et de la division EP qui sont évaluées par des résultats de simulation. Les résultats identiques montrent que l'instabilité apparemment complexe peut être décrite quantitativement par les variables indépendantes de l'échelle définies pour élucider les caractéristiques de l'évolution de l'instabilité par la suppression du module de cisaillement et de la limite d'élasticité d'un point de vue simple. Cela fait de la théorie une méthode polyvalente potentielle pour estimer un système KHI similaire sur tout autre support de résistance, que la surface soit instable pour former des motifs ondulés après un impact oblique intense et intense.

La configuration KHI de la Fig. 1 est simulée par la méthode des éléments finis23 (voir section "Méthodes"). Au moment initial, l'eau à vitesse tangentielle constante entre en contact étroit avec la surface de cuivre perturbée. Les échelles de variables sont choisies en consultant les expériences d'impact oblique24,25.

Après de nombreux calculs, nous avons effectué quatre évolutions temporelles typiques de surfaces métalliques incluant des cas stables et instables. En raison de la dépression du module de cisaillement G1 et de la résistance Y, la surface stable conserve la similitude avec la perturbation initiale au fil du temps (Fig. 2a), et l'amplitude présente un comportement oscillant autour d'une petite plage dans la direction verticale (Fig. 2e). Sous l'opération de la vitesse dans la direction x, les évolutions instables effectuent une croissance dans la direction y accompagnant un mouvement de direction tangentielle tel qu'un léger déplacement tangentiel (Fig. 2b), un mouvement tangentiel visible (Fig. 2c) ou un enroulement de surface (Fig. 2d). Les facteurs de croissance des motifs ondulés instables présentent tous des tendances d'augmentation avec des taux différents (Fig. 2e). Soit dit en passant, les morphologies ondulées des surfaces instables dans nos simulations au temps 0,15 μs et 0,2 μs (Figs. 2b-d) sont similaires à celles observées dans les expériences d'impact oblique, y compris un comportement de mouvement tangentiel différent et une structure de curling24,25,26, 27,28.

Quatre cas d'évolutions temporelles de surface. ( a – d ) Cartes des morphologies temporelles de surface de la surface de la plaque de Cu au repos (bleu) parcourue par le fluide idéal H2O (gris) avec une vitesse tangentielle u0, calculée par des méthodes d'éléments finis23. Chaque plaque de Cu a une densité fixe ρ1 = 8,9 kg/m3, un module de cisaillement fixe de 39,39 GPa et la même perturbation initiale avec une longueur d'onde de 250 μm et une amplitude de 10 μm. Les quatre cas sont obtenus en faisant varier la vitesse tangentielle, les densités de fluide et la limite d'élasticité de Cu pour le cas a u0 = 1,0 mm/μs, ρ2 = 2,0 kg/m3, Y = 500 MPa, cas (b) u0 = 1,0 mm/μs, ρ2 = 3,0 kg/m3, Y = 500 MPa, cas (c) u0 = 2,0 mm/μs, ρ2 = 1,0 kg/m3, Y = 500 MPa et cas (d) u0 = 2,0 mm/μs, ρ2 = 1,0 kg /m3, Y = 100 MPa. Les morphologies de surface de quatre cas au temps 0,05 μs, 0,1 μs, 0,15 μs, 0,2 μs sont données respectivement. La flèche rouge dans chaque surface au temps 0,2 μs est le schéma de la direction du mouvement de surface. (e) Le facteur de croissance z de chaque cas est extrait de la simulation.

En raison de la disparité évidente du développement de l'amplitude, nous trouvons une limite pour partitionner les évolutions stables et instables pour toutes les combinaisons de variables (Fig. 3). Différentes variables sans dimension AT, M0, \(\widehat{\lambda }\) et \(\widehat{Y}\) dans les simulations sont obtenues en modifiant respectivement la densité du fluide, la vitesse tangentielle, l'amplitude initiale, la longueur d'onde, le module de cisaillement et la limite d'élasticité. (voir Supplémentaire). Selon une oscillation stable et une augmentation continue des facteurs de croissance, la frontière est obtenue en fixant \(\widehat{\lambda }\) et en faisant varier \(\widehat{Y}\) avec suffisamment de densités de points pour approcher la position de la marge d'instabilité. Ensuite, en adoptant la même procédure pour plus de valeurs \(\widehat{\lambda }\), une ligne peut être tracée pour diviser les domaines. Comme le montre la figure 3 avec différents AT et M0, les zones contenant toutes les combinaisons variables en dessous et au-dessus de la limite d'instabilité indiquent respectivement une surface stable et instable. De même, le mouvement d'amplitude de partitionnement de la division EP avec et sans comportement plastique est également obtenu. La zone sous la division EP implique une déformation élastique, comme un comportement plastique au-dessus de la ligne de division. Nous observons également que la division EP est sous la limite d'instabilité, ce qui laisse entendre que la croissance continue de la perturbation doit subir une transformation plastique pour surmonter la résistance à la déformation de la perturbation initiale.

Frontière d'instabilité et division EP par simulations et théorie. Trois combinaisons de AT et M0 sont calculées, à savoir (a) AT = 0,7980 et M0 = 0,4754, (b) AT = 0,4958 et M0 = 0,3803, (c) AT = 0,0 et M0 = 0,2377. Les axes 2πξ0/λ et ρ1u02/Y dans les figures sont \(\hat{\lambda }\) et \(\hat{Y}\). Le point plein et le point creux sur chaque figure représentent respectivement les résultats de simulation de la limite d'instabilité et de la division EP. La ligne pleine et la ligne pointillée signifient les résultats par théorie pour la frontière d'instabilité et la division EP. Les résultats avec AT et M0 identiques par simulation numérique et théorie analytique sont tracés sur une figure à des fins de comparaison.

L'analyse de l'instabilité part des équations gouvernantes de continuité et de quantité de mouvement avec les hypothèses d'écoulement incompressible et irrotationnel. La méthode du flux potentiel est adoptée pour représenter le champ de vitesse qui devrait être continu dans la direction normale de l'interface matérielle avec la perturbation de η(x,t) = ξ(t)eikx. Ensuite, l'équation de mouvement pour décrire l'évolution de l'amplitude de l'interface ξ(t) est obtenue avec la condition d'équilibre des forces dans la direction normale de l'interface matérielle. Nous donnons un cas particulier du processus d'établissement de l'analyse d'instabilité dans la section "Méthodes". Avec parfaitement les propriétés EP du solide et la contrainte de Cauchy du fluide visqueux, l'équation de mouvement de l'interface entre le solide EP et le fluide visqueux est obtenue. L'instabilité du solide est focalisée dans la présente étude pour ignorer la viscosité du fluide. L'équation de mouvement d'amplitude est modifiée pour être une forme sans dimension (Eq. (21) dans la section "Méthodes")

où zp est le facteur de croissance au moment où la transition EP a lieu et

Les symboles Λ et Χ contiennent les influences du module de cisaillement et de la limite d'élasticité représentées par les variables sans dimension M0 et \(\hat{Y}\). Dans l'éq. (1) la première branche contrôle le mouvement d'amplitude avec un comportement élastique avant que le facteur de croissance z n'arrive à zp au-delà duquel une déformation plastique se produit pour décrire le comportement d'amplitude par la deuxième branche. A partir de l'éq. (1) avec une dérivation mathématique (voir la section "Méthodes"), nous divulguons les formules analytiques de la frontière d'instabilité (Eq. (32) dans la section "Méthodes")

et division EP (Eq. (38) dans la section "Méthodes")

Les formulations spécifiques de xp ,τp et τe (voir les équations (30), (28) et (36) dans la section "Méthodes") sont relatives à M1, M2 et Λ, donc frontière d'instabilité et division EP avec la relation de \ (\widehat{Y}\)= f (\(\widehat{\lambda }\)) sont déterminés par AT et M0. Lignes calculées par Eqs. (3) et (4) avec les mêmes variables sans dimension que les simulations sont également tracées à la Fig. 3 qui montrent des résultats identiques.

De plus, nous effectuons plus de propriétés sur la frontière d'instabilité, la division EP et l'évolution de l'amplitude (solutions de l'équation (1) dans la section "Méthodes") par notre théorie pour comprendre le comportement de l'instabilité.

La frontière d'instabilité et la division EP divisent le champ \(\widehat{Y}\) vs \(\hat{\lambda }\) en trois parties. Certains points de chaque partie sont sélectionnés pour effectuer des évolutions temporelles d'amplitude (Fig. 4). La figure 4a trace la limite d'instabilité et la division EP pour AT = 0,5 et M0 = 0,4. La zone sous la division EP signifie un mouvement d'amplitude uniquement avec un comportement élastique dont le facteur de croissance est également déterminé par AT et M0 (Eq. (39a) dans la section "Méthodes"), donc toutes les combinaisons de paramètres dans la zone sous la division EP possèdent la même évolution temporelle qui est contrôlé par G1 conduisant à vibrer dans une petite plage (Fig. 4b). La zone entre la limite d'instabilité et la division EP implique que l'amplitude est stable avec la déformation plastique. Le facteur de croissance oscille initialement élastiquement pour dépasser zp jusqu'au stade plastique, puis est supprimé par Y jusqu'à une valeur maximale et oscille autour de (Eq. (39b) dans la section "Méthodes"). Pour les régions au-dessus de la limite d'instabilité, le facteur de croissance vibre également élastiquement au stade plastique, mais l'effet de Y est évidemment faible, comme le montre l'augmentation continue de l'amplitude sur la figure 4b (Eq. (39c) dans la section "Méthodes"). À l'exception des caractéristiques illustrées ci-dessus, certaines autres sont également détectées, telles que le facteur de croissance présente un mouvement plus stable lorsque \(\widehat{Y}\) ou \(\widehat{\lambda }\) diminuent, et \(\widehat identique {Y}\widehat{\lambda }\) spécifie la même évolution en stade plastique (Eqs. (39b) et (39c) dans la section "Méthodes"). Les valeurs correspondantes de \(\widehat{\lambda }\) et \(\widehat{Y}\), l'état EP et l'état de surface sont résumées dans les tableaux 1 et 2 de la Fig. 4. En outre, nous donnons également la limite d'instabilité, Division EP et évolution de l'amplitude pour un autre AT = 0,9 et M0 = 0,2 (Fig. 4c, d). La régularité du développement de surface est similaire à celles avec AT = 0,5 et M0 = 0,4 sauf que la plage d'oscillation est inconsciemment plus étroite.

Deux groupes de frontière d'instabilité, division EP et facteur de croissance par théorie. (a,b) Le premier groupe de limite d'instabilité, de division EP et de facteur de croissance pour des points choisis arbitrairement avec AT = 0,5, M0 = 0,4. (c,d) Le deuxième groupe avec AT = 0,9, M0 = 0,2. Les points pleins indiquant les combinaisons de variables sélectionnées se situent au-dessus de la frontière d'instabilité, et les points creux se situent entre la frontière d'instabilité et la division EP. \(\hat{Y}\) et \(\hat{\lambda }\) les valeurs de chaque point sont marquées entre parenthèses après le point. Certains d'entre eux ont le même \(\hat{\lambda }\), certains ont le même \(\hat{Y}\). Pour les points de même forme et couleur, leur \(\hat{Y}\hat{\lambda }\) est identique. La couleur de la courbe du facteur de croissance z dans les figures (b) et (d) est complètement la même que la couleur du point. La ligne étiquetée "Zone élastique" est le facteur de croissance pour la région sous la division EP, et les autres lignes sont étiquetées avec les valeurs correspondantes \(\hat{Y}\) et \(\hat{\lambda }\) entre parenthèses.

En raison de AT et M0 déterminant la limite d'instabilité et la division EP, nous illustrons également les influences. En diminuant progressivement AT pour M0 = 0,2 (Fig. 5a), la limite d'instabilité et la division EP se rapprochent simultanément de l'axe des coordonnées, ce qui montre que la zone de croissance d'amplitude et de mouvement plastique est agrandie. Pour une combinaison fixe de \(\hat{Y}\) et \(\hat{\lambda }\) qui est désignée sur la figure 5a, comme variant AT, le point se situe à différentes zones. Pour AT = 0,9, le point est dans la zone élastique et l'amplitude correspondante oscille élastiquement (ligne noire sur la Fig. 5b). Comme AT = 0,7, le point se situe entre la limite d'instabilité et la division EP et la croissance est contrôlée par la limite d'élasticité (ligne verte sur la figure 5b). Après AT = 0,3, le point se trouve dans la zone d'instabilité pour présenter une amplitude croissante continue (ligne bleue sur la Fig. 5b). En outre, nous constatons également que lorsque AT diminue, la zone entre la frontière d'instabilité et la division EP diminue, ce qui indique que la surface est instable une fois que la transformation plastique se produit pour un petit AT. Ensuite, les caractéristiques de la limite d'instabilité et de la division EP affectées par M0 sont tracées sur les figures 5c, d. Les influences de M0 ne sont pas si évidentes, en particulier sur la division EP et comme l'augmentation de la limite d'instabilité de M0 présente un mouvement appréciable dans la direction d'approche de l'axe. Pour un point entre la limite d'instabilité de M0 = 0,6 et 0,8, le facteur de croissance doit subir une déformation plastique, et l'amplitude est stable pour M0 = 0,6 (ligne noire sur la Fig. 5d) et instable pour M0 = 0,8 (ligne bleue sur la Fig. 5d). Il semble que l'état d'évolution d'amplitude des combinaisons de variables près de la frontière d'instabilité soit sensible au changement de M0.

Influences de AT et M0 sur la frontière d'instabilité et la division EP. (a) Pour un M0 fixe = 0,2, quatre groupes de limite d'instabilité (ligne continue) et de division EP (ligne pointillée) avec AT = 0,9, 0,7, 0,3, - 0,5 sont tracés. Un point entre la limite d'instabilité et la division EP de AT = 0,7 est désigné par une étoile rouge. (b) Le facteur de croissance de l'étoile rouge dans la figure (a) lorsque AT varie. (c) Pour un AT fixe = 0,9, cinq groupes de limite d'instabilité (ligne continue) et de division EP (ligne pointillée) avec M0 = 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0 sont représentés. Une étoile rouge entre M0 = 0,6 et 0,8 est également désignée. (d) Le facteur de croissance de l'étoile rouge dans la figure (c) lorsque M0 varie.

La principale caractéristique du solide est sa capacité à résister à la déformation par cisaillement. Le corps solide se déforme lorsqu'il est soumis à des forces extérieures. Si la déformation est réversible, c'est-à-dire que la déformation s'annule instantanément dès que les efforts extérieurs sont supprimés, ce type de déformation est élastique. Si la déformation est permanente, c'est-à-dire que le solide cède, le solide se déforme avec un comportement plastique. La résistance à la déformation par cisaillement détermine évidemment l'instabilité de la surface solide qui est montrée dans les résultats ci-dessus.

Ces résultats montrent qu'une image complète de KHI dans le solide devient claire grâce à la frontière d'instabilité, à la division EP et à l'évolution du facteur de croissance qui sont désignées par les variables sans dimension AT, M0, \(\widehat{\lambda }\) et \(\widehat {Y}\). La frontière d'instabilité et la division EP sont construites dans le plan de \(\widehat{\lambda }\) et \(\widehat{Y}\) qui sont divisés en trois parties. La position relative de la frontière d'instabilité et de la division EP est que la frontière d'instabilité se situe au-dessus de la division EP dans les plans \(\widehat{\lambda}\) et \(\widehat{Y}\), ce qui indique des informations physiques sur les caractéristiques de l'évolution de l'instabilité. La première partie des plans \(\widehat{\lambda }\) et \(\widehat{Y}\) est la région sous la division EP dans laquelle le solide n'atteint pas la limite d'élasticité et la croissance de surface est limitée par le module de cisaillement. L'amplitude montre des vibrations autour d'une petite plage en raison de la résistance à la déformation par cisaillement au stade élastique. La morphologie de la surface peut être réversible à l'état d'origine si l'incitation à l'instabilité disparaît. La deuxième partie des plans \(\widehat{\lambda }\) et \(\widehat{Y}\) est la région au-dessus de la division EP et sous la limite d'instabilité dans laquelle le rendement se produit et la croissance de surface est contrôlée par la force. Dans la deuxième partie, l'élasticité du solide ne peut pas supprimer la croissance d'amplitude et la déformation devient importante jusqu'au stade plastique. Pourtant, la croissance continue de l'amplitude est limitée par la limite d'élasticité après la transition EP. Par conséquent, les caractéristiques de l'évolution de l'amplitude contiennent trois processus comprenant la vibration élastique à la déformation plastique, la croissance supprimée par la force et la vibration autour. La morphologie de la surface peut être permanente si l'incitation à l'instabilité disparaît. Ces deux parties constituent tous les cas de surfaces stables. La troisième partie des plans \(\widehat{\lambda }\) et \(\widehat{Y}\) est la région au-dessus de la limite d'instabilité dans laquelle les surfaces sont instables avec une déformation plastique. Dans la troisième partie, l'incitation à l'instabilité conduit la surface à se déformer du stade élastique au stade plastique, et la résistance ne peut empêcher l'augmentation de l'amplitude. L'évolution de la surface présente une grande déformation pour former une morphologie ondulée. Bien que la limite d'instabilité et la division EP soient affectées par AT et M0 à des degrés différents, la régularité physique ci-dessus de l'évolution de l'instabilité ne change pas. Selon l'analyse, il a été constaté que la transition EP est la condition nécessaire à la croissance en amplitude pour former une morphologie ondulée, ce qui implique que l'énergie minimale requise pour engendrer une liaison ou un mélange efficace entre les matériaux après un impact oblique doit dépasser l'énergie conduisant à la déformation plastique.

Pour le système KHI dont nous avons discuté ci-dessus, les simulations démontrent que la croissance continue de l'amplitude de la surface métallique au stade précoce en surmontant les effets de dépression des propriétés EP est une signature d'instabilité dynamique pour former une morphologie ondulée, et il existe une limite pour distinguer tous les stables. et des combinaisons de variables instables pour diverses vitesses, géométries de perturbation (amplitude initiale et longueur d'onde) et propriétés des matériaux (densités, module de cisaillement et limite d'élasticité).

La frontière d'instabilité et la division EP prédites par nos formules analytiques sont étonnamment cohérentes avec celles obtenues par simulations, et le modèle identifie les variables sans dimension AT, M0, \(\widehat{\lambda }\) et \(\widehat{Y}\) comme paramètres caractéristiques pour décrire l'instabilité de surface. Les résultats analytiques illustrent également quantitativement comment les processus d'évolution sont affectés par ces variables sans dimension à partir de nombreuses perspectives. Étant donné que nos formules mathématiques n'incluent pas de termes indépendants de l'échelle, le modèle semble être capable de prédire les évolutions des systèmes KHI plus larges, pas seulement les cas dont nous avons discuté ici.

En comparant la morphologie tardive de nos simulations avec celle après l'expérience d'impact oblique24,25,26,27,28, les caractéristiques du motif ondulé métallique sont similaires, y compris la croissance d'amplitude et le mouvement tangentiel, ce qui réprouve le fait que le mécanisme de formation de l'interface ondulée est le évolution du KHI5,25. La configuration dans notre étude ressemble à la situation d'un matériau de résistance heurté avec un angle par un métal subissant un ramollissement thermique18. La vitesse tangentielle est décomposée de la vitesse d'impact en fonction de l'angle d'impact entre l'impacteur et la cible. En extrayant la perturbation (par exemple la rugosité de surface)24,25 et les propriétés matérielles de l'impacteur et de la cible, les variables sans dimension de la configuration sont facilement calculées. Un AT plus petit et un M0 plus grand signifient un impacteur avec une densité et une vitesse plus grandes pour la même cible. Un plus petit \(\widehat{\lambda }\) et \(\widehat{Y}\) correspond à une cible de force plus élevée avec une perturbation plus douce. Nous pouvons prédire l'état d'évolution de la surface en localisant la position entre la limite calculée (\(\widehat{\lambda }\),\(\widehat{Y}\)) et la limite d'instabilité au-dessus, ce qui signifie la formation d'une morphologie ondulée. Ainsi, la méthode théorique présentée offre un outil polyvalent potentiel sur une large gamme d'échelles pour aider à estimer l'évolution de la surface métallique après un impact oblique pour expliquer la liaison collisionnelle ou même le mélange29,30. Pour une évolution plus complète entre deux métaux EP, les caractéristiques nécessitent des investigations supplémentaires.

L'hypothèse commune des propriétés constitutives des matériaux reconnaissant la résistance à l'échelle linéairement avec le module de cisaillement31,32 et le comportement constitutif à hautes pressions33,34 indique le lien entre le module de cisaillement et la limite d'élasticité. Pour une condition de calcul de chargement dynamique (vitesse tangentielle) et des échantillons (densités, module de cisaillement et limite d'élasticité), AT , \(\widehat{Y}\), M0 sauf \(\widehat{\lambda }\) (amplitude initiale et longueur d'onde) peuvent être estimés grossièrement, à savoir que l'état d'instabilité de la surface est déterminé par les propriétés de perturbation, y compris l'origine et la dimension qui sont d'autres problèmes complexes faisant référence aux techniques d'usinage, aux microstructures des matériaux, etc. La morphologie ondulée avec déformation plastique après impact oblique prend comme preuve de liaison entre des matériaux dissemblables29,30, la perturbation devient donc un facteur crucial d'une liaison efficace.

La simulation numérique prise dans cet article est une méthode d'éléments finis de Lagrange 2D qui a été adoptée pour simuler fréquemment l'impact dynamique et l'instabilité de surface18,24. L'avantage de la méthode de Lagrange de capturer l'interface du matériau est utilisé pour obtenir une surface claire de solide. Les surfaces des matériaux sont initialement en contact et définies par un contact glissant uniquement qui est une méthode à deux surfaces. Les détails du cadre et de la fiabilité de la méthode de Lagrange sont effectués dans une étude précédente21.

Le solide et le fluide sont tous deux simulés avec EOS de l'état de Mie-Grüneisen avec un coefficient γ = ρ0γ0/ρ où γ0 est un paramètre caractéristique et ρ0 est la masse volumique initiale. La relation entre la vitesse de choc vs et la vitesse des particules vp est vs = c0 + svp où c0 est la vitesse globale du son et s est une constante caractéristique. Pour le cuivre, ρ0 = 8,9 g/cm3, γ0 = 2,02, c0 = 3,94 cm/μs et s = 1,49 sont utilisés, tandis que ρ0 = 1,0 g/cm3, γ0 = 0,4934, c0 = 1,48 cm/μs et s = 2,56 sont utilisés pour l'eau35,36. Afin d'être cohérent avec le modèle théorique, un modèle plastique parfaitement élastique et rigide est adopté pour caractériser le solide avec un module de cisaillement constant G1 et une limite d'élasticité constante Y.

L'amplitude 2ξ0 est la distance entre la crête et le creux de la vague dans la direction y. La longueur de l'interface dans la direction x contient vingt longueurs d'onde pour diminuer l'effet des étendues latérales. Des mailles carrées de côté 2,5 μm sont réparties au moment initial. La plaque solide est au repos et la vitesse tangentielle de la plaque fluide est fixée à u0 au temps initial.

Pour une configuration bidimensionnelle, l'équation de mouvement d'amplitude est dérivée à partir des équations gouvernantes de continuité et de quantité de mouvement sans forces conservatrices et non conservatrices agissant sur l'interface

où i = 1 et i = 2 représentent respectivement deux matériaux, ui caractérise la vitesse irrotationnelle perturbée du matériau i, et pi est la pression. La théorie de l'écoulement potentiel est adoptée pour établir l'analyse de l'instabilité. Pour un écoulement irrotationnel à l'instant initial et en considérant les vitesses tangentielles, on a

où ϕi et Φi satisfont l'équation de Laplace. La formule mathématique de la pression peut être obtenue en intégrant l'Eq. (6) de y = 0 à l'interface instantanée y = η (x, t) dans la direction y avec C1 = C221

Avec des conditions cinématiques dans la direction normale

et fonction potentielle

on détermine le coefficient Ai(t) en fonction de ξ(t) en considérant le repère 2D fixé sur le solide

L'équilibre des forces est également acquis à l'interface dans la direction normale

où Fy(j) représente la force par surface unitaire agissant sur l'interface. Pour le système de fluide solide et visqueux EP, la formule supérieure peut être exprimée comme

où S1,yy(ep) représente la composante verticale de la contrainte déviatorique pour le solide EP et S2,yy(v) est la composante verticale de la partie déviatorique du tenseur des contraintes de Cauchy σij = -pδij + Sij pour le fluide.

Le solide au stade élastique est supposé être un solide hookéen ayant une relation constitutive linéaire37

où D1,ij est le tenseur de vitesse de déformation. Les tenseurs de contraintes déviatoriques du fluide ont la forme de

où μ2 est la viscosité dynamique. La composante verticale de la contrainte déviatorique pour les fluides élastiques solides et visqueux est obtenue avec les équations. (7), (11), (12), (15a), (15b), (16a) et (16b)

Ensuite, le mouvement d'amplitude pour l'équation élastique peut être décrit par Eq. (18) en remplaçant les Eqs. (17a) et (17b) dans l'équation. (14)

L'amplitude de perturbation ξp au moment où le solide cède est déterminée par la condition de transition EP, c'est-à-dire la contrainte effective \(\tilde{\sigma }=\sqrt{3{S}_{1,ij}{S}_{1, ij}/2}\) arrive à Y. Ensuite, l'expression mathématique du solide plastique est dérivée avec les équations. (15a) et (15b) et avec le fait que la déformation plastique ne se produit qu'au niveau d'une petite couche éloignée de la surface de forme telle que y ~ k-1. L'équation de mouvement intégrée d'amplitude pour EP fluide solide et visqueux est

Afin de se concentrer sur l'instabilité sur la surface solide, l'effet de viscosité du fluide n'est pas discuté temporairement. Le mouvement d'amplitude de KHI entre le solide EP et le fluide idéal est décrit en prenant μ2 = 0 dans l'Eq. (19)

dont la forme sans dimension est

avec la définition des variables sans dimension AT = (ρ1-ρ2) / (ρ1 + ρ2), M02 = ρ1u02/G1, z = ξ(t)/ξ0, τ = tku0, \(\widehat{\lambda }\)= 2πξ0/λ et \(\widehat{Y}\)= ρ1u02/Y. zp est le facteur de croissance au moment où la transition EP a lieu et

\(\widehat{\lambda }\) représente la caractéristique de l'interface et \(\widehat{Y}\) désigne l'induction et la résistance à l'instabilité.

La condition de stabilité est que l'amplitude doit avoir une valeur maximale à un certain instant τ = τm ce qui implique

Les dérivations partent de l'Eq. (21) avec les conditions initiales z(0) = 1 et ż(0) = 0. Les transformations

sont introduits dans l'Eq. (21) atteindre

et les conditions initiales et les conditions continues sont

où τp est le temps où le solide passe de l'élasticité à la plasticité. Intégrer l'éq. (25a) avec Éq. (26a) et en évaluant les équations. (26b) et (26c) à l'instant τp où l'état marginal stable passe au régime plastique, il a

Ensuite, en effectuant l'intégration de l'Eq. (25a) deux fois avec Eq. (26a) et (26b), on obtient

En faisant une première intégration sur l'Eq. (25b) avec Éq. (26b) et (26c) et en évaluant x2(τm) = ẋ2(τm) = 0 grâce à l'Eq. (23), nous avons

Puis, en portant les dérivées premières des Eqs. (24a) et (24b) et en les évaluant à τ = τp, et en combinant les Eqs. (27) et (29), on obtient xp

Évaluer l'éq. (26b) dans l'équation. (24a) et en combinant zp dans l'Eq. (22), il a

Avec la définition de Χ dans l'Eq. (22), la limite d'instabilité est atteinte

La transition EP se produit lorsque l'amplitude maximale zme = z(τe) de l'élasticité pure devient égale à l'amplitude zp pour l'apparition de l'écoulement plastique. De l'éq. (24a), il a

où τe est le moment où la transition EP a lieu. Puisque ż (τe) = 0, la dérivée de l'Eq. (24a) à τ = τe est

et évaluer la première intégration de l'Eq. (25a) à τ = τe , il a

Afin d'obtenir le temps de transition τe, en intégrant l'Eq. (25a) deux fois et en évaluant à τ = τe avec Eq. (35), on obtient

Par conséquent, en combinant l'Eq. (33) avec zme = zp, il a

et en utilisant à nouveau la définition de Χ dans l'Eq. (22), l'expression de la division EP se trouve

Les facteurs de croissance sont les solutions de l'Eq. (21) et les processus de résolution sont similaires aux travaux précédents21. Ici, nous listons les formes sans dimension des solutions. Deux stables sont

pour le cas purement élastique en dessous de zp et

avec transition EP. Deux solutions instables sont respectivement

et

Les ensembles de données utilisés et analysés au cours de la présente étude sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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La recherche a été soutenue par la Fondation nationale des sciences naturelles de Chine (n° 11902039).

Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, 100094, Pékin, République populaire de Chine

Xi Wang, Xiao-Mian Hu, Sheng-Tao Wang, Hao Pan et Jian-Wei Yin

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XW et HP ont rédigé le manuscrit et travaillé sur la méthodologie ; XW, XMH et HP ont supervisé et conçu l'idée ; STW dans le manuscrit révisé et organisé les fonds ; XW et JWY ont réalisé le travail logiciel et les simulations.

Correspondance à Hao Pan ou Jian-Wei Yin.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Wang, X., Hu, XM., Wang, ST. et coll. Instabilité hydrodynamique de Kelvin-Helmholtz sur une surface métallique. Sci Rep 13, 2686 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-29810-7

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Reçu : 20 juin 2022

Accepté : 10 février 2023

Publié: 15 février 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-29810-7

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